こんにちは、しゅがーです。
二次関数に苦手意識がある人は克服しないとかなりまずいです。それも、克服するのなら早ければ早いほどいいです。
というのも、二次関数は数II、数IIIにめちゃくちゃ繋がってきます。
具体的に言うと、
・図形と方程式
・三角関数
・指数対数関数
・微分
・積分
・複素数平面
と、あらゆる分野に関わってきます。
二次関数に苦手意識がある人はガチで危機感を持ったほうが良いです。
それこそがあなたがどうあがいても受験数学ができない理由だと思います。
厳しいです。
例えば、三角関数の問題で実は二次関数の知識が必要だった、みたいな問題で解けなかったとき、
「自分って三角関数が苦手なんだな」
と誤解していくら三角関数を強くしようとしても、
それ、二次関数ができないから解けない
だけですよね。完全に反省の仕方が間違っています。
自分の弱点はどこかを把握しないまま進めるのは危険です。
「数Iだから今更勉強するの恥ずかしい…」
みたいな、しょーもないプライドは捨てるべきです。
数学は積み重ねの学問です。
積み木をする際、土台がしっかりしていないといくら根性で積み木を乗せようとしても崩れますよね。
何度も言いますが、二次関数はあらゆる分野の土台なので、苦手な人にとって克服するのは早ければ早いほどいいです。
この記事を読めば、二次関数という土台をしっかりと作り上げることができるようになり、もう「また二次関数の知識が必要な問題か・・・」と一切悩まなくなることでしょう。
目次
なぜあなたは二次関数が苦手なのか?
そもそも、なぜあなたは二次関数が苦手なのでしょうか?
二次関数が苦手な人には共通することがだいたい決まっています。
考えられる理由は3つです。
・ビジュアルチックな思考をしていない
・全体像を掴めてない
・「構えておく」姿勢がない
この3つです。一つずつ解説していきます。
ビジュアルチックな思考をしていない
まず数学には、「思考」を色々分類できます。
例えば、こういう「視点」でみたらこの「思考」はこう分類できるな、みたいな感じです。
今回の二次関数を例にあげると、「ビジュアルチックな思考」です。
どういう思考かというと、「ビジュアル」で解くのが二次関数です。
というわけで、「視点」をあなたに授けます。
それは、数学には
・定量的な思考
・定性的な思考
の2つに分類できるという視点です。
定量と定性はよく物理で用いられる用語ですが、ここでは数学においても適用できるとします。
ここでは、
定量的な思考とは、「数式を用いた思考」で、
定性的な思考とは、「数式を用いない思考」と定義します。
※物理での厳密な定義とは異なるかもしれません。
さきほど二次関数は「ビジュアルで解く」と話しました。
この「ビジュアルで解く」とは、定量的な思考か、定性的な思考のどちらかに分類するとしたら・・・?
定性的な思考です。数式を用いない思考というわけです。
こういう視点を持っておいてほしいのです。
例えば、中学数学では「図形」問題だったら自然とビジュアルチックな定性的な思考が出来ていたわけなのですが、「二次関数」って一見数式的で、定量的な思考をすると思いがちなのです。
しかし実際のところはビジュアルチックに解く「定性的な思考」が二次関数では非常に多いという姿勢を持っているか持っていないかで、ガラッと見方が変わるのです。
ここをぜひ頭に入れておいてください。
つまり、二次関数はビジュアルチックに、グラフを実際に自分で描いて、動かして解く、という思考が多いのです。
全体像を掴めてない
次に二次関数が苦手な人の理由として、全体像を掴めていないという理由が挙げられます。
全体像とはどういうことか?
イメージとしては下の絵です。
全体像が木でいうところの「幹」の部分です。
幹が太い木は、物凄く丈夫で、さらに成長の余地がありますよね。
一方、幹が細い木は折れたりするかもだし、成長しなさそうです。
これと同じで、「全体像」という幹の部分をしっかりと頭に入っている人は記憶が「丈夫」で忘れにくく、成長の余地=応用力があります。
結論から申し上げますと、二次関数の問題は以下のように分類でき、これが全体像です。
後ほど詳しく解説させていただきます。
「構えておく」姿勢がない
最後に、「構えておく」姿勢がないということです。
というのも、大学受験の数学の問題は、
「こういう状況、こういう問題文の言い回し、こういうキーワード」
ときたら
「こういう解き方」
という対応関係が存在しています。ここが算数や中学数学と違うところです。
中学数学や算数では、その問題ごとに「その場で考える」という思考が強かったと思います。
言い方を変えれば、その場の対応力が問われてきたのが今までの数学や算数でした。しかし、高校数学からはその力ももちろん大切ですが、あらかじめ「こうきたらこう解く」というふうに「構えておく」姿勢が非常に重要になってきます。
この姿勢を大切にしましょう。今まではその場その場で考えるという場当たり的な思考をしてきた人が多いと思いますが、高校数学ではあらかじめ「こうきたらこう解く」という構えておく姿勢を持っておくと解ける問題の数がグンと増えます。
逆に、構えておかないと常人には解けない問題はめちゃくちゃ多いです。
二次関数の主要パターンの解き方を頭に入れよう
先ほど全体像のお話を少しさせていただきました。
もう一度、ご覧ください。
このように二次関数は分類できるのです。
そう、3つです。
・最大・最小
・不等式問題
・方程式問題
です。まずはこの全体像を頭に入れてください。
そして、さきほども言った通り、「構えておく」必要があります。「こうきたら、こう」という構える姿勢です。
具体体にどう構えておくかというと、
・最大・最小
・不等式問題
・方程式問題
のそれぞれの主要パターンのときの、式をあらかじめ自分で思い出せるようにしておくことです。
まずはこの式の部分だけ、つまり抽象的な部分だけ抜き出して思い出せるようにしておけば良いのです。やみくもに問題を解きまくるより、こっちのほうが圧倒的に効率的です。
それではこの3つについて、さっそく構えていきましょう。
最大・最小
まずは最大・最小を解説していきます。
ゴールを示しましょう。以下のような問題が解けるようになればよいのです。
※問題の解説自体は最後にします
僕はこの問題を見たときに瞬時に式とパターンが思い浮かびます。
上記のようなイメージです。これが浮かぶようになったらもう二次関数はクリアしたと思ってください。それでは、これを思い浮かぶようになるために具体的に解説していきます。
主要パターンとそれに対応する解き方を、問題ベースで解説していきます。
以下のときの最大値・最小値を求めよ。\(a,\alpha,\beta\)は定数とする。
(1)\(\alpha ≦ x\)において、下に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(2)\(\alpha ≦ x\)において、上に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(3)\(\alpha ≦ x ≦ \beta\)において、下に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(4)\(\alpha ≦ x ≦ \beta\)において、上に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
答えが以下です。とりあえずざっと眺めてください。※下で詳しく解説します。
(1)最大値は、考える必要なし。最小値は、
\(a≦\alpha\)のとき、\(f(\alpha)\)
\(a>\alpha\)のとき、\(f(a)\)
である。
(2)最大値は、
\(a≦\alpha\)のとき、\(f(\alpha)\)
\(a>\alpha\)のとき、\(f(a)\)
であり、最小値は考える必要なし。
(3)最大値は、
\(a≦\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\)のとき、\(f(\beta)\)
\(a>\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\)のとき、\(f(\alpha)\)
である。最小値は、
\(a<\alpha\)のとき、\(f(\alpha)\)
\(\alpha≦a≦\beta\)のとき、\(f(a)\)
\(a>\beta\)のとき、\(f(\beta)\)
である。
(4)最大値は、
\(a<\alpha\)のとき、\(f(\alpha)\)
\(\alpha≦a≦\beta\)のとき、\(f(a)\)
\(a>\beta\)のとき、\(f(\beta)\)
である。最小値は、
\(a≦\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\)のとき、\(f(\beta)\)
\(a>\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\)のとき、\(f(\alpha)\)
である。
気づきましたか?
そうです、このように抽象的な部分だけ抜き出して思い出せるようにしておけば良いとはこういうことです。式の部分だけ思い浮かぶようになっておけば良いのです。
上記の答えを思い出せるようにする動画を作りました。最初に述べた通り、二次関数とはビジュアル的な思考が必要です。そのため、動画でイメージを頭に入れるのがわかりやすいです。
※答えをそのまま丸暗記するのではなく、下の動画のように思考回路を辿って自分で組み立てられるようにしましょう。
この動画を見た後、さきほどの問題
以下のときの最大値・最小値を求めよ。\(a,\alpha,\beta\)は定数とする。
(1)\(\alpha ≦ x\)において、下に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(2)\(\alpha ≦ x\)において、上に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(3)\(\alpha ≦ x ≦ \beta\)において、下に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
(4)\(\alpha ≦ x ≦ \beta\)において、上に凸で軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)
を0から自分で答えを組み立てられるようになればオッケーです。
不等式問題
次に不等式問題です。
問題としては、以下のような問題を解けるようになれば良いです。(※問題自体の解説は最後にします。)
(1)\(a\)は実数の定数とする.2次関数\(f(x)=2x^2-4ax+a+1\)が\(x≧0\)においてつねに\(f(x)>0\)を満たすような,\(a\)の値の範囲を求めよ.
(2)\(0≦x≦2\)を満たすすべての実数\(x\)に対して,\(x^2-2ax+a-3≦0\)が成り立つような定数\(a\)の値の範囲を求めよ.
(秋田大,千葉工業大)
さて、全体像のところで、不等式問題は最大・最小に帰着と書いたのを覚えていますか?
そうです、つまり不等式問題は先ほど解説した最大・最小の知識さえあればオッケーなんです。
どういうことか?
それは、言葉の言い換えをすれば最大・最小に帰着できるってことなんです。
例えば、
「すべての\(x\)に対して\(f(x)>0\)である」
と言われたら、瞬時に
「\(f(x)\)の最小値>0」
と言い換えられるのです。
これも、問題ベースでいきましょう。
以下のとき、最大値・最小値という言葉を用いて条件を言い換えよ。
(1)\(\alpha≦x\)の範囲について、すべての\(x\)に対して、\(f(x)>0\)
(2)\(\alpha≦x\)の範囲について、すべての\(x\)に対して、\(f(x)<0\)
(3)\(\alpha≦x≦\beta\)の範囲について、ある\(x\)に対して、\(f(x)>0\)となる\(x\)が存在する。
(4)\(\alpha≦x≦\beta\)の範囲について、ある\(x\)に対して、\(f(x)<0\)となる\(x\)が存在する。
答えです。※とりあえずざっと眺めてみてください。詳しい解説は下でします。
(1)\(\alpha≦x\)における\(f(x)\)の最小値\(>0\)
(2)\(\alpha≦x\)における\(f(x)\)の最大値\(<0\)
(3)\(\alpha≦x≦\beta\)における\(f(x)\)の最大値\(>0\)
(4)\(\alpha≦x≦\beta\)における\(f(x)\)の最小値\(<0\)
これを導くための思考プロセスを動画にまとめました。
さきほどの最大・最小のときと同様に、この動画の思考プロセスを自分で0から組み立てられるようになり、
以下のとき、最大値・最小値という言葉を用いて条件を言い換えよ。
(1)\(\alpha≦x\)の範囲について、すべての\(x\)に対して、\(f(x)>0\)
(2)\(\alpha≦x\)の範囲について、すべての\(x\)に対して、\(f(x)<0\)
(3)\(\alpha≦x≦\beta\)の範囲について、ある\(x\)に対して、\(f(x)>0\)となる\(x\)が存在する。
(4)\(\alpha≦x≦\beta\)の範囲について、ある\(x\)に対して、\(f(x)<0\)となる\(x\)が存在する。
こちらの問題に解答できるようになればオッケーです。この抽象的な部分を頭に入れておきましょう。
さて、ちなみになんですが、あえてこの問題で二次関数という言葉を使わなかったのに気づきましたか?
そう、これは二次関数以外にも一般の関数にも言えることなので、二次関数という単語は使いませんでした。
今回の言い換えが出来るようになれば、後々数IIでも数IIIでも役に立つということを覚えておくと便利ですよ。
いずれにしても、この問題をすらすら解答できれば、最大・最小に帰着できるので、不等式問題は特に新しい知識はいらないです。
方程式問題
いよいよ、最後です。方程式問題とはいわゆる「解の配置」ってやつです。
問題としては、以下の問題が解けるようになればいいです。(※問題自体の解説は最後にします)
2次方程式\(mx^2-x-2=0\)の2つの実数解が,それぞれ以下のようになるための\(m\)の条件を求めよ.
(1)2つの解がともに\(-1\)より大きい.
(2)1つの解は1より大きく,他の解は1より小さい.
(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい.
(岐阜大)
さて、もう一度全体像を見てみましょう。
解の配置問題では、条件を考える必要がありますが、こちらにも書かれてるように、条件を気にする部分は限られてて、
・端点の\(f(x)\)の値
・軸
・頂点の値(or 判別式D)
だけ気にすればいいです。
今回も、例のごとく問題ベースでいきましょう。
\(\alpha,\beta,a\)を定数とする。下に凸、軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)において、二次方程式\(f(x)=0\)を考える。以下のとき、それぞれ条件を求めよ。
(1)\(\alpha≦x\)で2解をもつ
(2)\(\alpha≦x≦\beta\)で2解をもつ
(3)1つの解が\(\alpha\)より大きく、もう1つの解が\(\alpha\)より小さい。
(4)\(\alpha<x<\beta,\gamma<x<\delta\)でそれぞれ1解をもつ
(5)\(\alpha≦x\)で少なくとも1解をもつ
(6)\(\alpha≦x≦\beta\)で少なくとも1解をもつ
答えです。※とりあえずざっと眺めてみてください。詳しい解説は下でします。
(1)・\(a≧\alpha\)
・\(f(\alpha)≧0\)
・\(f(a)≦0\)(or \(D≧0\))
(2)・\(\alpha≦a≦\beta\)
・\(f(\alpha)≧0\)
・\(f(\beta)≧0\)
・\(f(a)≦0\)(or \(D≧0\))
(3)・\(f(\alpha)<0\)
(4)・\(f(\alpha)\cdot f(\beta)<0\)
・\(f(\gamma)\cdot f(\delta)<0\)
(5)\(a≦\alpha\)のとき
・\(f(\alpha)≦0\)
\(a>\alpha\)のとき
・\(f(a)≦0\)(or \(D≧0\))
(6)\(a<\alpha\)のとき
・\(f(\alpha)≦0\)
・\(f(\beta)≧0\)
\(\alpha≦a≦\beta\)のとき
・\(f(a)≦0\)(or \(D≧0\))
・\(f(\alpha)≧0\)または\(f(\beta)≧0\)
\(a>\beta\)のとき
・\(f(\alpha)≧0\)
・\(f(\beta)≦0\)
これを導くための思考プロセスを動画にまとめました。
さきほどの最大・最小と不等式問題のときと同様に、この動画の思考プロセスを自分で0から組み立てられるようになり、
\(\alpha,\beta,a\)を定数とする。下に凸、軸\(=a\)の二次関数\(f(x)\)において、二次方程式\(f(x)=0\)を考える。以下のとき、それぞれ条件を求めよ。
(1)\(\alpha≦x\)で2解をもつ
(2)\(\alpha≦x≦\beta\)で2解をもつ
(3)1つの解が\(\alpha\)より大きく、もう1つの解が\(\alpha\)より小さい。
(4)\(\alpha<x<\beta,\gamma<x<\delta\)でそれぞれ1解をもつ
(5)\(\alpha≦x\)で少なくとも1解をもつ
(6)\(\alpha≦x≦\beta\)で少なくとも1解をもつ
こちらの問題に解答できるようになればオッケーです。
実際の入試問題で演習
さあ、ようやく具体的な問題をやってみましょうか。今までぱっと見せてきた問題たちの解説です。
また、今まで抽象的な部分だけ抜き出して説明しました。
しかし、この抽象的な部分さえ持ってれば問題は解けてしまうのです。やみくもに二次関数の問題を解きまくるより、主要な全パターンの抽象的な知識の部分を網羅しておいて、ちょこっと具体的な問題を解くくらいで十分です。
それでは、やっていきましょう。
最大・最小
\(a\)を定数とするとき,2次関数\(y=x^2-2ax+2a^2\)について
(1)区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ.
(2)区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最小値が20であるとき,\(a\)の値を求めよ.
(宇都宮大)
以下がこの問題の解答です。
不等式問題
(1)\(a\)は実数の定数とする.2次関数\(f(x)=2x^2-4ax+a+1\)が\(x≧0\)においてつねに\(f(x)>0\)を満たすような,\(a\)の値の範囲を求めよ.
(2)\(0≦x≦2\)を満たすすべての実数\(x\)に対して,\(x^2-2ax+a-3≦0\)が成り立つような定数\(a\)の値の範囲を求めよ.
(秋田大,千葉工業大)
以下がこの問題の解答です。
(1)
(2)
方程式問題
2次方程式\(mx^2-x-2=0\)の2つの実数解が,それぞれ以下のようになるための\(m\)の条件を求めよ.
(1)2つの解がともに\(-1\)より大きい.
(2)1つの解は1より大きく,他の解は1より小さい.
(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい.
(岐阜大)
以下がこの問題の解答です。
裏技:定数分離について
今まで全体像のところでお見せしていて気づいた人もいたかと思います。
不等式問題と方程式問題の
裏技:定数分離
です。
こちら数IIIの知識が必要になってくる超裏技です。以下の記事でまとめましたので興味のある方はどうぞ。
\(a\)を定数とするとき,2次関数\(y=x^2-2ax+2a^2\)について
(1)区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ.
(2)区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最小値が20であるとき,\(a\)の値を求めよ.
(宇都宮大)