こんにちは！しゅがーです。
今回はこちらの記事の続きです。
さあ、やってまりました。前回の記事で、以下のように述べました。
「受験数学には、主に二種類の問題があるのです。
一つ目は、純粋な思考力を問う問題です。
二つ目は、既存の知識を適用する力を問う問題です。」
前回の記事は、二つ目「既存の知識を適用する力を問う問題」について解説しました。
今回は一つ目「純粋な思考力を問う問題」の解説です！！！
ではでは、やってまいりましょう！
受験数学における難問＝なぞなぞ＝連想ゲーム
受験数学（または数学オリンピック）における難問とは？？？？
それは、「なぞなぞ」です。
「なぞなぞ」ってなんでしょう？
なぞなぞとは、連想力を問う問題ですよね。
受験数学における難問についても全く同じです。
すなわち、「この問題文からこんなのどうやって発想するの？？？？？」
となる問題が、難問であると、この記事では定義します。
具体的に例題でやってみましょう。
例題１
もはやこの問題は有名問題過ぎて解法は知っている方は多いと思います。
が、一旦ここでは初見の気分でこの問題を考えてみましょう！！！
さあ、問題文が短すぎて難しそうですね。
しかし、キーワードはあります。
「有理数」です。
有理数、無理数の話ときたら、
\(=\frac{a}{b}\)
とおく。という有名手法が浮かびますよね。
また、
\(\tan{1^\circ}\)は有理数か。
において、
「〜か。」
ときたら・・・？
背理法が浮かびます。（浮かんでほしいです涙）
次に数式に着目します。
\(\tan{1^\circ}\)
ここで注目するのが
「tan」
と
「1という数字」
です。
「tan」という数式から、当然ですがtanに関する公式を使うのは明白です。
ここで先ほど述べた
「\(=\frac{a}{b}\)
とおく。」
という手法と結びつきます。
tanの加法定理です。
\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)
分数の形をしていますよね。
そしてもう一つ。
「1という数字」
です。
はい、数学的帰納法を思い浮かべるべきです。
以上から、
・有理数ときたら使う手法
・背理法
・tanの加法定理
・数学的帰納法
これらの知識を使えば答えにたどり着けます。
解答です。
「なぞなぞ」でした。
例題２
\(4^{27}+4^{500}+4^n\)が平方数となる最大の整数\(n\)を求めよ。（数学オリンピック）
さあ！またまた「なぞなぞタイム」です笑
この問題文を読んでみると読み取れるのが
「平方数」
が真っ先に目に付くと思います。
さあ、ではどうする？
\(4^{27}+4^{500}+4^n=m^2\) とでも置くのか？？？
その解法は下手くそです。
ここで、\(4^{27}+4^{500}+4^n\)の項数に着目してみましょう！
何項ですか？
３項ですよね。
ここで、３項の公式といえば・・・？
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
があります。
解答です。
面白い問題だったのではないでしょうか？
ちなみに、僕がこの解法を思いつくまでにかかった時間は
３時間
です。はい、数学オリンピックは僕には無理です笑
類題を貼っておきます。
例題２の類題１
\(m\)を自然数とする。
\(m^3+3m^2+2m+6\)
がある自然数の３乗になるという。
このような\(m\)をすべて求めよ。(一橋大)
解答です。
例題２の類題２
\(n,m\)を自然数とするとき、
$$ 2^{2n}+2^{4m}+2^{n+2m+1}+2^{n+1}+2^{2m+1} $$
は平方数ではないことを示せ。
解答です。
まとめ
お疲れ様でした！
難問を解くためには「なぞなぞ」にうまくなる必要があるとわかっていただけたのではないでしょうか？
では、なぞなぞにうまくなるには？
すなわち「連想力」を上げるには・・・？
・・・・
・・・
・・
正直才能です笑
大人しく、入試でよく出るパターンをおさえて
「合格最低点を上回る努力」
をしましょう！！！！
結局以下の記事に帰着します。
以上です。今回の記事は、才能が必要だという、身も蓋もないクソ記事でした。
それでは！
\(\tan{1^\circ}\)は有理数か。(京都大)