こんにちは、しゅがーです。
僕は普段、高校生に数学を教えているのですが、
「logの概形が分からなくなってしまう・・・」
って悩みを持ってる子がいました。
詳しく話を聞いてみると、logの関数は、ほかの\(y=x^2\)や\(y=a^x\)みたいに直感的にすぐわからないからだと理由がわかりました。
しかし、定義から考えてしまえばこのlogのグラフは簡単に導けます。
今回はこのグラフの概形がわからない・思い出せない悩みを持ってる人に向けて、簡単な解決法を提示したいと思います。
logの定義
ここでグラフにいく前に、「logの定義とは？」から知識が必要になってきます。
logの定義とは、
です。
つまり\(y=a^x \)を\(x\)について解いた、というわけです。
この定義から、\(x=\log_{a}y\)とみたらもともと\(y=a^x \)なので、
「\(x=\log_{a}y\)」
→\(x\)は「\(a\)を何乗したら\(y\)になるか？」という数
と覚えるのをおすすめします。僕はこれを何回も唱えて覚えました。
定義をグラフに当てはめる
さて、それでは\(y=\log_{a}x\)のグラフを考えて見ましょう。
①定義よりx=の式の戻す
②左右逆のyx平面をイメージする（慣れないうちは描く）
③時計回りに90度回転させる
上記が\(y=\log_{a}x\)のグラフの描き方です。
具体的にやっていきます。
まず①「定義よりx=の式の戻す」
\(y=\log_{a}x\)
これを\(x\)について解くと、
「\(y=a^x \)となるような\(x\)を\(x=log_{a}y\)と表す」
この定義から、
\(x=a^y\)
となります。
①定義よりx=の式の戻す
②左右逆のyx平面をイメージする（慣れないうちは描く）
③時計回りに90度回転させる
②「左右逆のyx平面をイメージする」にいきます。
\(x=a^y\)
\(a>1\)のとき
下のようなグラフになります。
これは指数関数のグラフのイメージが出来ていれば簡単ですよね。指数関数のグラフはイメージしやすいので。
次です。
③時計回りに90度回転させる
はい、これで終わりです。このグラフが\(y=\log_{a}x\)となります。
原理としては、単純に
\(y=\log_{a}x\)を\(x\)について解いた
\(x=a^y\)をyxグラフにおこして（左右逆ですが）、
それを時計回りに90度回転させることで
いつもの\(y=\)の形の式のグラフ(xyグラフ)になる、というわけです。
一応、練習として\(0<a<1\)のときも考えてみましょう。
\(y=\log_{a}x\)
①定義よりx=の式の戻す
②左右逆のyx平面をイメージする（慣れないうちは描く）
③時計回りに90度回転させる
①をやると、さきほどと同様に
\(x=a^y\)
②、③を行うと、
はい、これで完成です。
以上です！
\(y=\log_{a}x\)のグラフは、確かに数式の意味からいちいち考えるとなかなかイメージしずらいです。そのため、まずは定義にさかのぼってよりイメージしやすい簡単な指数関数のグラフを思い浮かべることで、\(y=\log_{a}x\)のグラフは簡単に描けるのがお分かりいただけたのではないでしょうか。
logの範囲は言ってしまえば「落とせない問題が多い」「差がつかない」範囲です。だからこそ、着実に知識を整理しておいた方が必ず将来の自分のためになります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。ではでは。
「\(y=a^x \)となるような\(x\)を\(x=log_{a}y\)と表す」