どうもこんにちは、しゅがーです。
今回は数IIIの積分計算について解説していこうとおもいます。
数IIIの積分は数IIの積分と違って、簡単ではありません。
ひとえに、解法の選択肢が非常に多いからです。
そのために、今回の記事では、「数IIIの積分計算でわからなくなったときに考えるべきこと」をまとめていこうと思います。
ちなみに、以下の記事は数III積分の裏技なので是非理解することをおすすめします。
詰まったときにする思考法
さあ、早速やってまいります。
が、その前にこの思考法を身につけるための前提条件を述べておきます。
この前提のもと、初見の積分で方針が出なかったときに考えるべきことをまとめます！
それがこちらです↓
・有名手法に抜けがないか確認
・微分の接触形か確認
・部分積分か確認
・king propertyか確認
有名手法に抜けがないか確認
はい、一個ずつ有名手法をまずは潰していくのが大切です。
「見落とししていないか？」ってことです。
↓これらです。
(1)$$ \int \frac{1}{x^2+1}dx $$
(2)$$ \int \frac{x}{x^2+1}dx $$
(3)$$ \int \frac{1}{x(x+1)}dx ,\int \frac{1}{x^2-a^2}dx $$
(4)$$ \int \sqrt{1-x^2}dx $$
(5)$$ \int \sqrt{x^2+1}dx , \int \sqrt{x^2-1}dx $$
(6)$$ \int_{1}^{2}x\sqrt{2-x}dx $$
(1)→tan置換
(2)→f’/fとみる→log
(3)→部分分数分解
(4)→sin置換
(5)→\(x+\sqrt{x^2\pm1}\)置換
(6)→ルートを丸ごと置換→\(\sqrt{2-x}=t\)
これらに抜けが無いかをまずは確認するのが積分計算で詰まったときに考えることです。
※記載した有名手法にまだ抜けがあるかもしれません。気付いた場合は適宜追加します。
微分の接触形か確認
次に微分の接触形と呼ばれるものです。例を出しましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos^{3} xdx \)を求めよ。
※準備中（詳しく解説書く）
部分積分か確認
次に部分積分です。部分積分を使うときは、最初の時点でぱっとみて「これ部分積分だ！」とはなかなかなりません。部分積分を適用してみて、初めて「部分積分だ！」となることが非常に多いです。
例を出しましょう。超有名なやつです。
\(\displaystyle\int_{1}^{e} \log{x} dx \)を求めよ。
※準備中（詳しく解説書く）
king propertyか確認
最後が、king propertyです。これもそこそこ出題されるやつです。
king propertyとは超簡単にまとめると、
「f(a+b-x)を計算してみてf(x)+f(a+b-x)が簡単な形になるとき使える」
手法です。
具体例を見てみましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\)を求めよ。
※準備中（詳しく解説書く）
問題演習
実際に入試問題で思考の仕方を学びましょう。
↓のように思考するわけです。
・有名手法に抜けがないか確認
・微分の接触形か確認
・部分積分か確認
・king propertyか確認
問題１
次の定積分を求めよ。
(1)
$$ I=\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2} dx $$
(2)
$$ J=\int_0^1 x^3 log{(x^2+1)} dx $$
(神戸大)
※準備中
問題２
次の定積分を求めよ。
$$ \int_0^{\pi}\frac{x\sin{x}}{1+\cos^2x}dx $$
(信州大)
※準備中
積分公式は頭に入っている。また、有名な手法なども頭に入っている。